【全球报资讯】实变函数 复习题

一、可数集的判定

（1） 自然数集、有理数集是可数集；（2）可数个可数集的并集是可数集；（3）有限个可数集的笛卡尔乘积是可数集；（4）不可数集是存在的，直线上任何区间不可数.

例1.直线上任何非空的开集是可数集吗？

【资料图】

不是。在实数直线上，存在许多非空的开集是不可数的。例如，开区间 是一个非空的开集，但其元素个数是连续的实数个，是不可数的。

例2. 任何一个区间中无理数全体可数吗？

不是

例3. 系数为有理数的多项式全体是一个可数集.

例4. 直线上互不相交的开区间族至多可数个.

开区间的长度大于 0, 故必含有有理数, 在每一个开区间内取出一个有理数. 因为开区间互不相交, 所以取出的有理数都不相等, 从而这些有理数构成 的一个子集. 又 是可列集, 故这样的开区间至多有可列个.

例5. 直线上任何一个单调函数的不连续点至多可数个.

二、外测度、测度及其基本性质

（1）理解外测度概念，会计算简单集合的外测度.（2）理解可测集、测度概念，会计算简单集合的测度.（3）会利用可测集定义、性质证明集合的可测性.

例6.从外测度定义出发，计算 中下面集合的外测度

例7.问 中集 是否可测？若可测，计算其测度

例8.设 ，并且对任意 0" data-formula-type="inline-equation">，存在开集 ，使得 ，证明 可测

三、积分论（Lebesgue积分概念与性质）

例9. 几乎处处相等的可测函数L-可积性相同吗？

相同

例10. 常函数一定是Lebesgue可积函数吗？

不一定

例11. 测度有限集上有界可测函数Lebesgue可积吗？

是

例12. 何时在 上Lebesgue可积？ 何时在 上 Lebesgue可积？

, 1" data-formula-type="inline-equation">

例13. 在 上Lebesgue可积吗？函数 呢？

可积，可积

例14.成立吗？

例15.设，其中 ，证明 .

例16.设函数 ，问是否在 上Riemann可积？ 是否在[0,1] 上Lebesgue可积？若可积求出积分值.

例17. 设 ，令, 证明 在 内可导，并且可在积分号下求导.

例18. 计算极限，并说明理由,其中 为一给定常数.

例19.设是有界闭区间上的Riemann可积函数列，又设在上一致收敛于函数,证明是上的Riemann可积函数

提示：证明在上有界，并且几乎处处连续。

例20.Lebesgue 积分的本质是什么？

Riemann积分是分割定义域（横着分割），Lebesgue积分是分割值域（竖着分割）。

是的完备化空间

证明 作为 的子空间不是完备的.为此只需证明 不是闭子空间.

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